Termeni statistici esenţiali în jocurile de noroc – definiţii şi interpretări adecvate

Jocurile de noroc sunt concepute în baza unor modele matematice, care le asigură funcţionalitatea şi garantează profitul operatorilor pe termen lung. Acesta este motivul pentru care descrierile complete ale acestor jocuri, precum şi indicatorii economici şi de profitabilitate ai acestora, utilizează termeni de natură statistic-matematică. Aceşti termeni caracterizează de asemenea strategiile de joc şi cuantifică activitatea în cadrul jocurilor de noroc.

Termenii statistici folosiţi în jocurile de noroc vizează descrierile şi discursul în contexte ale acestor jocuri, pentru toate părţile implicate în acest fenomen – experţi, operatori, legiuitori şi jucători. Totuşi, dată fiind natura statistică a acestori termeni, utilizarea lor în contexte reale de joc este de multe ori inadecvată, putând fi înşelătoare sau crea confuzie.

În acest articol veţi afla care sunt termenii statistici esenţiali în jocurile de noroc, cum se definesc şi cum trebuie interpretaţi în mod adecvat în context matematic, dar şi al jocului real.

 Şansele ca probabilitate

‘Şanse’ (în engleză ‘odds’) este termenul tehnic cel mai des utilizat în jocurile de noroc. Totuşi, în jargonul acestor jocuri. ‘şanse’ poate avea mai multe înţelesuri (în special în varianta în limba engleză), iar utilizarea nediferenţiată a termenului poate genera confuzie şi poate fi înşelătoare.

Înţelesul principal al termenului ‘şanse’ este acela de probabilitate matematică.

Probabilitatea este o măsură matematică a posibilităţii de producere a unui eveniment, cu condiţia ca acel eveniment să aparţină unei anumite structuri matematice (numită corp borelian).

Ca măsură, probabilitatea verifică nişte axiome, anume ia valori în intervalul [0, 1], luând valoarea 1 pentru întreg spaţiul de posibilităţi (evenimentul sigur) şi este aditivă, adică probabilitatea a două evenimente incompatibile este suma probabilităţilor acestora.

În definiţia cea mai simplă, probabilitatea unui eveniment este raportul dintre numărul situaţiilor sau dovezilor favorabile producerii acelui eveniment şi numărul total al situaţiilor sau dovezilor, care formează spaţiul de posibilităţi.

Aceasta se numeşte probabilitate clasică (sau probabilitate Laplace) şi se aplică în jocurile de noroc tuturor evenimentelor legate de rezultatele jocurilor, care aparţin unui spaţiu finit de posibilităţi.

Exemple:

– Probabilitatea ca la aruncarea unui zar să obţinem numărul 5 este 1/6 ca fracţie sau 16.66% ca procent, deoarece există o singură situaţie favorabilă acestui eveniment (faţa cu numărul 5 a zarului să fie deasupra, din şase situaţii posibile).

– Probabilitatea ca la aruncarea a două zaruri să obţinem suma 6 este 5/36 sau 13.88%, deoarece sunt 36 de rezultate posibile (6 pentru fiecare zar), din care 5 sunt favorabile evenimentului, anume perechile ordonate (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1).

Scenariu	Spatiu de rezultate	Rezultate favorabile	Probabilitate	Procent
Un zar arata 5	6	1	1/6	16.67%
Suma a doua zaruri este 6	36	5	5/36	13.89%

În anumite jocuri, rezultatele sunt combinaţii de elemente, precum în jocurile de cărţi – blackjack, baccarat sau poker – (cărţi) şi sloturi (simboluri).

Pentru a calcula probabilităţi ale unor evenimente exprimate prin combinaţii, este necesar un anumit calcul combinatoric înainte de a aplica definiţia clasică a probabilităţii.

Exemplu:

Pentru a calcula probabilitatea ca un jucător să primească doi aşi drept cărţi proprii într-un joc de Hold’em poker, mai întâi calculăm numărul de combinaţii de doi aşi, care este  C(4,2) = 6, apoi numărul total de posibilităţi de a distribui două cărţi, care este C(52,2) = 1326. Ultimul pas este operaţia de împărţire: 6/1326 = 0,00452 = 0,452% este probabilitatea căutată.

Calculele probabilistice nu sunt întotdeauna aşa simple ca în exemplele noastre. Evenimentele mai complexe din jocuri – în special la blackjack şi poker – necesită tehnici matematice speciale de aproximare, iar unele probabilităţi nici măcar nu sunt calculabile prin formule compacte, ci doar cu ajutorul calculatorului, algoritmic sau prin simulări.

 

Probabilitatea numerică poate fi exprimată ca fracţie, procent (ca în exemplele anterioare), dar şi prin aşa-zisul format de tip ‘şanse’, relativ la probabilitatea evenimentului contrar. Pentru a converti probabilitatea (ca fracţie sau procent) în şanse, se foloseşte următoarea formulă:

şansele = probabilitatea/(1 – probabilitatea)

 

Exemplu:

O probabilitate de 1/4 a unui eveniment E se converteşte în şanse după cum urmează:

Şansele pentru E = (1/4)/[1 – (1/4)] = (1/4)/(3/4) = 1/3. Se notează prin 3 : 1 sau ‘3 la 1’ şi se citeşte ‘trei contra unu’, adică şansele ca E să se producă sunt 3 contra 1, însemnând că sunt 3 şanse din 4 ca evenimentul contrar lui E să se producă şi o şansă din 4 ca E să se producă.

 

Formatul de tip ‘şanse’ al probabilităţii este mai mult specific pariurilor sportive, dar este de asemenea folosit pentru a exprima cotele de plată în majoritatea jocurilor de cazino, precum ruletă, blackjack, baccarat sau craps.

Această utilizare comună a formatului de tip ‘şanse’ în două contexte diferite este de multe ori o sursă de confuzii. De aceea este recomandat a se folosi termenul ‘probabilitate’ atunci când ne referim la probabilitatea matematică şi ‘cota de plată’ / ‘cota de câştig’ sau ‘cota’ când ne referim la ceea ce se plăteşte într-un joc drept câştig, relativ la miza pariului.

Probabilitatea (şansele) este o noţiune matematică exprimând o măsură, un fel de medie sau limită pentru posibilitatea de producere a unui eveniment. Probabilitatea nu oferă nicio certitudine privind producerea evenimentului în anumite circumstanţe sau pe o perioadă de timp dată. Trebuie să facem mereu diferenţa între probabilitatea unui eveniment şi posibilitatea fizică de producere a evenimentului.

Singura legătură între probabilitate, ca noţiune abstractă, şi producerea evenimentelor în viaţa reală este tot matematică, numită Legea Numerelor Mari, care spune că şirul frecvenţelor relative de producere a unui eveniment tinde către (aproximează) probabilitatea acelui eveniment.

Cota de plată

Cota de plată a unui rezultat câştigător într-un joc de noroc este coeficientul cu care se înmulţeşte miza pentru a determina suma de plată pentru câştigător. Cotele de plată sunt parte a setului de reguli ale jocului respectiv, care are un plan de cote, unde toate rezultatele câştigătoare sunt listate împreună cu cotele aferente.

Cota de plată poate fi notată ca multiplicator (x…) sau în format de tip şanse (… : … sau … la …). Notaţia de tip multiplicator este mai mult folosită în jocurile de sloturi, iar formatul de tip şanse este folosit în toate jocurile de cazino.

Cota de plată este uneori numită şi coeficient de plată.

Exemple:

– Cota de plată a unui pariu de tip stradă (street bet) la ruletă este 11 : 1 (sau x11), însemnând că, dacă veţi câştiga acel pariu, veţi primi de 11 ori miza sa, plus miza însăşi (care se returnează).

– În jocul de blackjack clasic este o cotă de plată de 3 : 2 (sau x1.5) pentru un blackjack câştigător. Aceasta înseamnă că vă este returnată miza, plus o plată de 1,5 ori acea miză.

– Într-un joc de sloturi, dacă o combinaţie câştigătoare are o cotă de plată de x500, înseamnă că veţi fi plătit de 500 ori creditul (miza), fără a vi se returna şi miza.

 

Deci la jocurile de cazino la masă, cotele de plată, aşa cum sunt afişate în setul de reguli ale fiecărui joc, reflectă câştigul net atunci când sunt aplicate mizei, în timp ce la sloturi acestea reflectă câştigul brut, din care trebuie să scădeţi o unitate din coeficientul de plată, pentru a obţine cota netă.

Acelaşi câştig brut este reflectat de cotele de plată la pariuri sportive, care pot fi exprimate în trei formaturi posibile, în funcţie de zona geografică: zecimal, fracţional sau linie monetară (moneyline).

 

Cota de plată nu este de fapt o noţiune sau termen statistic, ci un parametru important care caracterizează pariurile într-un joc, participând la majoritatea noţiunilor statistice esenţiale în jocurile de noroc (precum speranţa matematică, marginea casei, RTP, etc.).

Trebuie să facem distincţia între cota de plată şi plata efectivă. În timp ce cota de plată exprimă o rată fixă aplicată mizei, plata efectivă trebuie înţeleasă ca suma concretă care trebuie plătită jucătorului, depinzând de miza pariului.

 

În jargonul jocurilor de noroc şi chiar în multe din descrierile furnizate de experţi (în special în limba engleză), termenul ‘şanse’ (odds) este utilizat ca reflectând cota de plată a unui pariu.

La pariurile sportive, în limba engleză, utilizarea termenului ‘odds’ cu înţelesul de cotă de plată a ajuns un standard de limbaj unanim acceptat.

Acest fapt nu generează prea multă confuzie, însă lucrurile se schimbă atunci când termenul este folosit în acelaşi context cu ‘odds’ ca probabilitate, posibilitatea de confuzie fiind valabilă pentru orice discurs despre jocurile de noroc.

Confuzia poate fi creată în aceste condiţii şi la folosirea în limba română a termenului ‘şanse’, cu înţeles dublu. În particular, la pariurile sportive, această confuzie poate fi sporită de existenţa noţiunii de probabilitate implicită (implied probability), care de fapt nu  este o probabilitate matematică, ci doar un alt mod de a exprima cota de plată a unui pariu (ca procent).

În jargonul jocurilor de noroc, în limba engleză, distincţia dintre cele două înţelesuri este cel mai bine surprinsă prin termenii ‘true odds’ (şanse reale) versus ‘payout odds’ (cota de plată).

 

În consecinţă, trebuie să fim atenţi când folosim sau citim într-un anumit context termenul ‘şanse’ şi să nu îi asociem înţelesuri interschimbabile, deoarece avem de-a face cu două concepte diferite, exprimate prin acelaşi cuvânt. Spre exemplu, dacă luăm în considerare întrebarea “Ce joc oferă cele mai bune şanse (de câştig)?”, persoane diferite pot răspunde sau discuta întrebarea în termeni de probabilităţi de câştig, cote de plată sau chiar marginea casei, ca înţelesuri diferite pentru ‘şanse’.

 

 

Speranţa matematică

Speranţa matematică sau valoarea aşteptată (expected value, abreviat EV) a unui pariu este o noţiune esenţială în teoria jocurilor de noroc. Aceasta este un indicator statistic al unui pariu, definit în general în felul următor:

EV = (probabilitatea de a câştiga) x (profitul, dacă veţi câştiga) + (probabilitatea de a pierde) x (pierderea, dacă veţi pierde), unde pierderea este exprimată printr-un număr negativ.

Cota de plată este prezentă în formula speranţei matematice, deoarece profitul depinde de aceasta. Mai precis:

Dacă M este miza pariului, p este probabilitatea de a-l câştiga, iar c este cota de plată netă a câştigului, atunci: EV = p x c x M – (1 – p) x M

Speranţa matematică poate fi exprimată şi ca procent aplicat mizei:

EV (%) = p x c – (1 – p)

Această noţiune este aplicabilă oricărui joc de noroc, deoarece orice rundă a jocului constă plasarea de pariuri. La ruletă, pariaţi pe numere sau grupuri de numere, la blackjack pariaţi că veţi învinge dealerul, la sloturi pariaţi că veţi obţine o combinaţie câştigătoare şi aşa mai departe.

Exemple:

– La ruleta europeană, un pariu pe coloană se plăteşte 2 la 1 şi are o probabilitate de câştig de 12/37. Speranţa sa matematică este EV(%) = (12/37) x 2 – [1 – (12/37)] = –1/37 = –2,70%. Plasând acest pariu la nesfârşit, un jucător se aşteaptă să piardă în medie 2,70 cenţi pentru fiecare dolar pariat.

– La un joc de baccarat cu 8 pachete de cărţi, un pariu pe Bancher se plăteşte cu 1 la 1 şi are o probabilitate de câştig de 45,86%. Speranţa sa matematică este EV(%) = (45,86/100) x 1 – [1 – (45,86/100)] = –8,28%. Plasând acest pariu la nesfârşit, un jucător se aşteaptă să piardă în medie 8,28 cenţi pentru fiecare dolar pariat.

 

În termeni statistici, speranţa matematică este media de ordinul întâi a unei variabile aleatoare şi trebuie înţeleasă nu ca o medie aritmetică, ci ca o medie ponderată, unde ponderile sunt reprezentate de probabilităţi. Din această descriere reiese că speranţa matematică este o medie statistică şi trebuie interpretată ca atare.

Speranţa matematică a unui pariu nu trebuie interpretată în realitate ca o predicţie pentru profitul sau pierderea  pe o anumită perioadă de timp sau sesiune de joc sau număr de pariuri, ci ca profitul sau pierderea specifică acelui pariu în condiţii ideale de repetare la infinit sau, într-o formulare non-matematică, “pe termen lung”.

 

Aruncarea unui zar de 12 ori nu implică neapărat apariţia numărului 5 de două ori. Aşa cum probabilitatea unui eveniment nu prezice o frecvenţă de niciun tip a producerii sale, ci reprezintă o limită (la infinit) expirmată ca o medie, aşa şi speranţa matematică a unui pariu reprezintă o medie statistică a profitului sau pierderii.

 

Ca şi în exemplele anterioare, speranţa matematică este negativă în majoritatea situaţiilor de joc, indicând pierdere pentru jucător. Se întâmplă aşa deoarece cotele de plată sunt astfel alese în regulile fiecarui joc pentru a favoriza operatorul (casa), adică operatorul trebuie să obţină profit cu acel pariu, pe termen lung, în orice condiţii. Există câteva excepţii în care speranţa matematică poate deveni zero sau chiar pozitivă, pentru unele pariuri, în anumite circumstanţe, în stadii intermediare ale jocului, anume în condiţiile unui joc optim. Însă aceste excepţii nu afectează garanţia profitului pentru operatorul acelui joc, pe termen lung.

 

Speranţa matematică este cel mai important indicator statistic în jocurile de noroc, deoarece fundamentează alte noţiuni statistice importante, precum marginea casei, varianţă/volatilitate şi deviaţie standard. Aceşti indicatori statistici sunt introduşi în designul jocurilor, pentru ca acestea să producă rezultatele financiare urmărite de producători. Pentru jucători, speranţa matematică a unui pariu este un criteriu utilizat în strategiile obictive, inclusiv cele optime, deoarece a juca într-un anume mod pentru a atinge cea mai mare valoare posibilă pentru speranţa matematică, prin acţiuni şi alegeri strategice, înseamnă a maximiza câştigul şi a minimiza pierderea pe termen lung.

Marginea casei

Marginea casei (sau avantajul casei; în engleză house edge sau house advantage, abreviat HE) pentru un pariu se defineşte matematic ca fiind opusul de semn al speranţei matematice a acelui pariu: HE = –EV (%). Astfel, dacă EV este negativă, HE trebuie să fie pozitivă.

Interpretarea imediată a marginii casei este aceea că reflectă acea parte din sumele mizate la acel pariu, pe care casa o reţine ca fiind profitul său pe termen lung.

Pentru a obţine formula lui HE, trebuie doar să schimbăm fiecare semn în formula lui EV:  HE =  –p x c + 1 – p = 1 – p x (c + 1)

 

Putem defini marginea casei pentru un joc dacă există un singur pariu în acel joc, chiar dacă jocul poate avea mai multe cote de plată pentru diversele rezultate, adică acel joc este un pariu în sine, care nu se modifică pe parcursul jocului.

 

La ruletă, cotele de plată sunt astfel alese pentru ca orice pariu simplu sau combinat să aibă aceeaşi speranţă matematică şi implicit aceeaşi margine a casei. Prin urmare, marginea casei a jocului de ruletă este aceeaşi cu marginea casei a oricărui pariu al său (2,70% pentru ruleta europeană şi 5,26% pentru cea americană).

În jocurile cu cote multiple pentru diversele rezultate, pentru acelaşi pariu, cum este cazul la blackjack sau sloturi, toate acele cote sunt luate în calcul când calculăm marginea casei.

HE = –EV(%) =

 

Exemplu:

La jocul de blackjack clasic cu două pachete de cărţi, avem următoarele cote de plată şi probabilităţi apriori (înainte de începerea jocului, când nu există cărţi distribuite), pentru rezultatele posibile:

Jucătorul câştigă cu blackjack: ;  

Jucătorul câştigă fără blackjack: ;

Egalitate: ;

Jucătorul pierde: ;

HE = –0,0455 x 1,5 – 0,3757 x 1 – 0,8680 x 0 – 0,4920 x (–1) = 0,0480 = 4,80%

 

În jocuri precum craps, nu putem vorbi de o margine a casei, aşa cum a fost definită anterior, deoarece în acest joc există pariuri (pariul Place Bet, de exemplu) care poate necesita mai multe aruncări de zar pentru a fi rezolvat. În timpul acestei sesisuni de aruncări, jucătorul poate anula oricând pariul. În acest caz, sunt trei opţiuni de a defini marginea casei pentru un pariu la craps, anume pe pariu plasat, pe pariu rezolvat sau pe aruncare de zar.

Este important de ştiut că marginea casei a unui joc variază cu versiunile acelui joc (deoarece regulile, cotele de plată şi probabilităţile se modifică), dar şi cu strategiile optime ale jucătorului (pentru jocurile care permit astfel de strategii). Cel mai relevant exemplu este jocul de blackjack, a cărui margine a casei poate ajunge la valoarea minimă de aproape 0,1% dacă se foloseşte o strategie optimă bazată pe numărarea cărţilor.

 

Faptul că marginea casei are o valoare numerică pozitivă reflectă garanţia operatorului de a obţine profit cu acel joc pe termen lung, indiferent de strategiile pe care jucătorii le pot aplica pentru a câştiga.

Ca şi speranţa matematică, marginea casei este la rândul său o medie statistică şi trebuie interpretată în acest fel. Aceasta nu reprezintă profitul casei ca procent din mizele rulate pe o perioadă limitată de timp sau o sesiune de joc, ci un procent mediu teoretic, specific unei funcţionări ideale, la nesfârşit, a jocului.

Marginea casei este un indicator statistic important al jocurilor dintr-o perspectivă comercială, de interes pentru operatori, dar şi dintr-o perspectivă strategică, ca un criteriu obiectiv pe care jucătorii îl pot aplica pentru a alege între mai multe jocuri.

Returul către jucător

Returul către jucător (în engleză, return to player, abreviat RTP) este un indicator statistic al unui pariu sau joc, care exprimă procentul mediu din mizele jucătorilor care le este returnat sub formă de premii/câştiguri pe termen lung.

Din punct de vedere matematic, returul către jucător este doar o altă formă de a exprima marginea casei:

RTP = 1 – HE = 1 + EV. Aşadar, cu cât este mai mare marginea casei, cu atât este mai mic returul către jucător.

Pentru jocuri cu cote de plată multiple pentru acelaşi pariu,

RTP = 1

Cel mai simplu mod de a exprima RTP în general este RTP = (câştigul mediu/miza medie) × 100%, unde câştigul mediu = câştigul × probabilitatea sa.

 

Exemple:

– RTP la ruleta americană este RTP = 1 – 5,26% = 100% – 5,26% = 94,74%

– Să calculăm RTP pentru pariul Egalitate (Tie) la un joc de baccarat cu 8 pachete de cărţi: Mai întâi, calculăm EV:

Rezultatele posibile, împreună cu cotele de plată şi probabilităţile aferente, sunt următoarele:

Câştigă Bancherul:  ;

Câştigă Jucătorul: ;

Câştigă Egalitatea: ;

EV = 0,4585 x (–1) + 0,4462 x (–1) + 0,0951 x 8 = –0,1439.

HE = 1 + EV = 0,8561 = 85,61%

 

Ca funcţie de HE (sau EV), returul către jucător este de asemenea o medie statistică şi este cel mai des utilizat termen în descrierile tehnice ale jocurilor de sloturi.

Această natură statistică a returului către jucător, ca medie statistică, poate fi folosită pentru a corecta numeroasele concepţii greşite şi erori care se pot manifesta la jucători în legătură cu această noţiune (în special la jucătorii de sloturi):

– Indiferent de valoarea sa numerică, returul către jucător nu reflectă niciun fel de câştig, ci pierdere pe termen lung.

– Returul către jucător nu trebuie interpretat ca returul către un anumit jucător, din miza sau mizele sale rulate, ci în sens cumulativ, adică returul din toate mizele tuturor jucătorilor pe termen lung. Sau, dacă e să interpretăm returul către un singur jucător, acesta este returul din mizele rulate de acel jucător, către el însuşi, dacă ar fi jucat acel joc de o infinitate de ori.

 

 

Concluzie

 

Termenii statistici esenţiali în jocurile de noroc, precum probabilitate/şanse, speranţa matematică, marginea casei şi returul către jucător sunt parte a descrierilor tehnice ale jocurilor şi indicatori sau criterii atât pentru experţi, cât şi pentru jucători, vizând producerea jocurilor, analiza funcţionalităţii şi profitabilităţii acestora, precum şi strategiile de joc.

Utilizarea cu înţelesuri neclare a acestor termeni preponderent matematici în contexte non-matematice poate fi de multe ori conflictuală sau poate crea confuzie. În plus, noţiunile de teoria probabilităţilor pot fi înşelătoare pentru cei nefamiliarizaţi cu aceasta, mai ales când sunt aplicate în viaţa reală.

Pentru a avea o interpretare adecvată a acestor termeni în contexte matematice, dar şi fizice, trebuie să cunoaştem definiţiile lor matematice şi modul cum se aplică în viaţa reală a jocurilor de noroc. Acesta este de fapt o premisă a jocului informat, pentru a evita concepţiile greşite şi erorile specifice jocurilor de noroc.